Équations logarithme et exponentielle : méthode complète

Le principe général

Les équations contenant $ln$ ou $e^{x}$ font peur, mais elles se ramènent presque toujours à des équations algébriques que tu sais déjà résoudre (premier degré, second degré). La clé tient en deux idées : utiliser le fait que $ln$ et $exp$ sont des fonctions réciproques, et ne jamais oublier le domaine de validité.

Étape 0 — Le domaine de validité (à ne jamais sauter)

Avant toute manipulation, on liste les contraintes :

$ln (x)$ n'existe que si $x > 0$ .
$e^{x} > 0$ pour tout $x \in R$ : aucune contrainte sur l'exponentielle.

Si on néglige cette étape, on risque de garder des solutions parasites qui n'ont aucun sens dans l'équation de départ. C'est l'erreur n°1 du chapitre.

Les propriétés à connaître par cœur

$ln (ab) = ln a + ln b$ (pour $a, b > 0$ ).
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ .
$ln (a^{n}) = n ln a$ .
$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$ et $e^{na} = (e^{a})^{n}$ .
$ln (e^{x}) = x$ et $e^{l n x} = x$ (pour $x > 0$ ).

Type 1 — $ln (f (x)) = k$

On applique l'exponentielle aux deux membres : $ln (f (x)) = k ⟺ f (x) = e^{k}$ .

Exemple. $ln (x - 1) = 2$ . Domaine : $x - 1 > 0$ , soit $x > 1$ . On obtient $x - 1 = e^{2}$ , donc $x = 1 + e^{2} \approx 8, 39$ . Comme $8, 39 > 1$ , la solution est valide.

Type 2 — $ln (f (x)) = ln (g (x))$

Comme $ln$ est strictement croissante, donc injective :

ln (f (x)) = ln (g (x)) ⟺ f (x) = g (x) et f (x) > 0, g (x) > 0.

Exemple. $ln (x^{2}) = ln (2 x + 3)$ . On résout $x^{2} = 2 x + 3$ , soit $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , c'est-à-dire $(x - 3) (x + 1) = 0$ . Candidats : $x = 3$ ou $x = - 1$ .

$x = 3$ : $x^{2} = 9 > 0$ et $2 x + 3 = 9 > 0$ . Valide.
$x = - 1$ : $x^{2} = 1 > 0$ et $2 x + 3 = 1 > 0$ . Valide.

Les deux solutions conviennent : $S = {- 1, 3}$ . Attention, ici $x = - 1$ passe car c'est $x^{2}$ (toujours positif) qui est dans le $ln$ , pas $x$ .

Type 3 — $e^{f (x)} = k$

Si $k > 0$ : $e^{f (x)} = k ⟺ f (x) = ln k$ . Si $k \leq 0$ : aucune solution, car l'exponentielle est toujours strictement positive.

Exemple. $e^{2 x - 1} = 5$ donne $2 x - 1 = ln 5$ , donc $x = \frac{1 + ln 5}{2}$ .

Type 4 — Changement de variable

Lorsqu'on voit $e^{2 x}$ et $e^{x}$ ensemble (ou $(ln x)^{2}$ et $ln x$ ), on pose une variable auxiliaire.

Exemple résolu, pas à pas. Résolvons $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ .

On remarque que $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ . On pose $u = e^{x}$ , avec la contrainte $u > 0$ .
L'équation devient $u^{2} - 3 u + 2 = 0$ .
On factorise : $(u - 1) (u - 2) = 0$ , donc $u = 1$ ou $u = 2$ (les deux sont $> 0$ , on les garde).
On revient à $x$ : $u = 1 \Rightarrow e^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $u = 2 \Rightarrow e^{x} = 2 \Rightarrow x = ln 2$ .

Solutions : $S = {0, ln 2}$ .

À retenir. La stratégie universelle du chapitre :

Écrire le domaine.
Choisir la bonne transformation ( $exp$ des deux côtés, $ln$ des deux côtés, ou changement de variable).
Vérifier chaque solution dans le domaine.

Les inéquations : surveiller le sens

$ln$ et $exp$ sont strictement croissantes, donc elles conservent le sens des inégalités :

$ln (f (x)) > ln (g (x)) ⟺ f (x) > g (x) > 0$ .
$e^{f (x)} > e^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x)$ .

Exemple. $ln (x) < 1 ⟺ x < e^{1} = e$ , avec la contrainte $x > 0$ . Solution : $0 < x < e$ .

Pièges les plus fréquents

Oublier le domaine et conserver une solution interdite.
Confondre $ln (a + b)$ et $ln a + ln b$ . C'est FAUX : $ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ . La somme se transforme en produit, pas l'inverse.
Écrire $e^{x} = k$ avec $k < 0$ et chercher une solution. Il n'y en a aucune.
Oublier la contrainte $u > 0$ dans un changement de variable $u = e^{x}$ : si on trouvait $u = - 1$ , il faudrait le rejeter.

Exemple bilan : combiner plusieurs propriétés

Résolvons $ln (x) + ln (x - 3) = ln (4)$ .

Domaine. Il faut $x > 0$ et $x - 3 > 0$ , donc $x > 3$ .
Regrouper les logarithmes. $ln (x) + ln (x - 3) = ln (x (x - 3))$ , valable car les deux arguments sont positifs sur le domaine.
Égalité de logarithmes. $ln (x (x - 3)) = ln (4) ⟺ x (x - 3) = 4$ .
Résoudre. $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , soit $(x - 4) (x + 1) = 0$ , d'où $x = 4$ ou $x = - 1$ .
Filtrer par le domaine. Seul $x = 4$ vérifie $x > 3$ . La solution $x = - 1$ est rejetée.

Solution : $S = {4}$ . Cet exemple montre pourquoi le domaine n'est pas une formalité : sans lui, on garderait une solution fausse.

Pour réviser

Voir le chapitre logarithme népérien et exponentielle. L'astuce qui fait gagner du temps : repérer immédiatement, à la lecture de l'énoncé, lequel des quatre types est en jeu, puis dérouler la méthode sans oublier la vérification finale.