Équations différentielles Terminale : méthode + 3 types

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction $y$. Elle relie cette fonction à ses dérivées $y^{\prime }$, $y^{\prime \prime }$, etc. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient.

En Terminale (spécialité maths et chapitre exponentielle), seuls trois types apparaissent au programme. Les maîtriser couvre la quasi-totalité des questions du baccalauréat sur ce thème. On les passe en revue ci-dessous, du plus simple au plus technique.

Type 1 — Linéaire homogène : $y^{\prime }=ay$

C'est l'équation reine, car elle décrit toute évolution proportionnelle à elle-même (croissance d'une population, décroissance radioactive, charge d'un condensateur). Sa solution générale est :

$$y(x)=C{e}^{ax},C\in \mathbb{R}.$$

La constante $C$ est libre tant qu'on n'a pas d'information supplémentaire. Dès qu'une condition initiale $y(x_0)=y_0$ est donnée, $C$ se calcule de façon unique.

Exemple résolu. Résolvons $y^{\prime }=3y$ avec $y(0)=2$.

• Solution générale : $y(x)=C{e}^{3x}$.
• On impose la condition : $y(0)=C{e}^0=C=2$.
• Conclusion : $y(x)=2e^{3x}$.

On vérifie : $y^{\prime }(x)=6e^{3x}=3\times 2e^{3x}=3y(x)$. C'est cohérent.

Type 2 — Linéaire avec second membre : $y^{\prime }+ay=b$

Ici $a\ne 0$ et $b$ est une constante. La méthode tient en deux temps, et l'ordre compte.

1. Solution particulière. On cherche une solution « évidente ». Comme $b$ est constante, une fonction constante $y_p=\frac{b}{a}$ convient (sa dérivée est nulle, et $a\cdot \frac{b}{a}=b$).
2. Solution de l'équation homogène associée $y^{\prime }+ay=0$, c'est-à-dire $y^{\prime }=-ay$. D'après le Type 1, c'est $C{e}^{-ax}$.

La solution générale est la somme des deux :

$$y(x)=\frac{b}{a}+C{e}^{-ax}.$$

Exemple résolu. Résolvons $y^{\prime }+2y=6$ avec $y(0)=1$.

• Solution particulière : $y_p=\frac{6}{2}=3$.
• Solution homogène : $C{e}^{-2x}$.
• Solution générale : $y(x)=3+C{e}^{-2x}$.
• Condition $y(0)=3+C=1$, donc $C=-2$.
• Conclusion : $y(x)=3-2e^{-2x}$.

Type 3 — Second ordre : $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$

On associe à l'équation son équation caractéristique, obtenue en remplaçant $y^{\prime \prime }$ par $r^2$, $y^{\prime }$ par $r$ et $y$ par $1$ :

$$r^2+ar+b=0,\Delta =a^2-4b.$$

La forme des solutions dépend du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta >0$ : deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, et $y(x)=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$.
• Si $\Delta =0$ : une racine double $r_0$, et $y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{r_{0}x}$.
• Si $\Delta <0$ : deux racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$, et $y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$.

Exemple résolu (cas $\Delta >0$)

Résolvons $y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$.

• Équation caractéristique : $r^2-5r+6=0$, soit $(r-2)(r-3)=0$.
• Racines : $r_1=2$ et $r_2=3$.
• Solution générale : $y(x)=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}$.

Exemple résolu (cas $\Delta <0$)

Résolvons $y^{\prime \prime }+4y=0$. Ici $a=0$, $b=4$, donc $r^2+4=0$ et $r=\pm 2i$. On a $\alpha =0$ et $\beta =2$, d'où :

$$y(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x).$$

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique : la solution est purement périodique.

Méthode générale en 3 réflexes

1. Identifier l'ordre. Présence de $y^{\prime \prime }$ ? Type 3. Sinon premier ordre.
2. Repérer le second membre. Nul ? Équation homogène, solution directe. Non nul ? On ajoute une solution particulière.
3. Exploiter la condition initiale pour fixer les constantes $C$ (ou $C_1,C_2$).

Erreurs classiques à éviter

• Le signe de l'exposant. Pour $y^{\prime }+ay=0$, la solution est $C{e}^{-ax}$, pas $C{e}^{ax}$. On retrouve le signe en réécrivant $y^{\prime }=-ay$.
• Oublier la solution particulière dans le Type 2 et ne donner que la partie exponentielle.
• Fixer $C$ trop tôt, avant d'avoir écrit la solution générale complète.
• Mal résoudre l'équation caractéristique : c'est un simple trinôme, traitez-le avec le discriminant comme d'habitude.

Un mot sur la modélisation

Ces équations ne sont pas qu'un exercice formel : elles traduisent des phénomènes réels. Quand un énoncé dit « la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à cette grandeur », il décrit exactement $y^{\prime }=ay$. Quand il ajoute un apport ou une fuite constante, on passe au $y^{\prime }+ay=b$.

Exemple de modélisation. Un médicament se dégrade dans le sang à un taux proportionnel à la quantité présente : $Q^{\prime }(t)=-0,2Q(t)$. La solution est $Q(t)=Q_0{e}^{-0,2t}$, où $Q_0$ est la dose initiale. On lit immédiatement que la quantité décroît, comme attendu, et qu'elle tend vers $0$ en $+\infty$. C'est ce type de lecture que le correcteur valorise : relier le calcul au sens physique.

Récapitulatif des trois types

• Type 1 $y^{\prime }=ay$ : solution $C{e}^{ax}$.
• Type 2 $y^{\prime }+ay=b$ : solution $\frac{b}{a}+C{e}^{-ax}$.
• Type 3 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ : selon $\Delta =a^2-4b$, exponentielles réelles, terme en $x$, ou cosinus/sinus.

Pour pratiquer

Rendez-vous sur les cours de Terminale, chapitre équations différentielles. À l'examen, un Type 1 ou un Type 2 apparaît presque systématiquement dans la partie consacrée à la fonction exponentielle : entraînez-vous à reconnaître le type en moins de dix secondes, puis à fixer la constante avec la condition initiale.