L'angle au centre des bissectrices

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le point d'intersection de ses trois bissectrices intérieures (le centre du cercle inscrit). On note $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ les angles du triangle.

Montrer que :

$$\widehat{BIC}=90^{\circ }+\frac{\hat{A}}{2}.$$

[Figure : triangle $ABC$, les bissectrices issues de $B$ et $C$ se coupent en $I$ à l'intérieur ; l'angle observé est $\widehat{BIC}$.]