Applications surjectives et principe d'inclusion-exclusion

Soit, pour $1\le p\le n$, $f(n,p)$ le nombre d'applications surjectives de $\mathbb{J}1,n\mathbb{K}$ dans $\mathbb{J}1,p\mathbb{K}$. Montrer, en utilisant le PIE, que :

$$f(n,p)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})(p-j{)}^n$$