Nombres consécutifs et disques coloriés

Énoncé du problème

Les entiers naturels de 1 à 15 sont placés arbitrairement autour d'un cercle. Montrer qu'il est toujours possible de trouver 5 nombres consécutifs dont la somme est supérieure ou égale à 40.
On se donne deux disques égaux $A$ et $B$ , chacun étant divisé en 200 secteurs égaux, qui, à leur tour, sont coloriés en noir ou en blanc. Dans le disque $A$ , il y a 100 secteurs blancs et 100 secteurs noirs, dans un ordre inconnu. Dans le disque $B$ , nous ne savons pas combien de secteurs sont blancs. Montrer qu'il est possible de placer le disque $A$ directement au-dessus du disque $B$ de telle sorte qu'au moins 100 secteurs du disque $A$ se trouvent au-dessus des secteurs du disque $B$ dont les couleurs correspondent à celles de $A$ .

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