Permutation et produits de réels positifs

Soient $x_1,x_2,\dots ,x_n$ des réels positifs tels que $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$. Montrer qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\{1,2,\dots ,n\}$ telle que :

$$x_{\sigma (1)}{x}_{\sigma (2)}+x_{\sigma (2)}{x}_{\sigma (3)}+\cdots +x_{\sigma (n)}{x}_{\sigma (1)}\le \frac{1}{n}$$