Télescopage caché : $k^4+k^2+1$

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose

$$T_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{k^4+k^2+1}.$$

1. Factoriser $k^4+k^2+1$ comme produit de deux trinômes du second degré.

2. En déduire une forme close de $T_n$, puis la limite de $T_n$ quand $n\to +\infty$.