Somme avec racines carrées imbriquées

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose :

$$a_n=\sqrt{1+{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2}+\sqrt{1+{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^2}$$

Montrer que $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_{20}}$ est un entier strictement positif, et déterminer sa valeur.