Fractions rationnelles dans une relation cubique

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels non nuls vérifiant : $a + b + c = 0$ . Montrer que :

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{a + b} + \frac{b ^{2} + c ^{2}}{b + c} + \frac{c ^{2} + a ^{2}}{c + a} = \frac{a ^{3}}{b c} + \frac{b ^{3}}{c a} + \frac{c ^{3}}{ab}$

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