Intégrabilité et primalité dans une suite

Soit $(b_n{)}_{n\ge 1}$ la suite définie par $b_2=b_3=1$ et pour tout $n\ge 3$ :

$$(n+1)(n-2)b_{n+1}=n(n^2-n-1)b_n-(n-1{)}^3{b}_{n-1}$$

Montrer que :

$$b_n\text{ est un entier}⟺n\text{ est premier}$$