Ensembles des antécédents d'une fonction récursive

Soit $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ la fonction définie par :

$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }n\le 2021\\ f(f(n-1))+f(n-f(n-1))& \text{si }n>2021\end{array}$$

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $A_n=\{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }:f(k)=n\}$.

Montrer que $A_n$ est un ensemble non vide, fini, formé d'entiers consécutifs.