Racines avec relation spéciale (cubique)

Soient $a,b,c$ des entiers avec $b$ pair et $c$ impair. On suppose que l'équation $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ admet pour racines $\alpha ,\beta ,\gamma$ avec ${\alpha }^2=\beta +\gamma$. Montrer que $\alpha$ est un entier et que $\beta \ne \gamma$.

(Inde)