Polynômes avec $n$ racines négatives

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $n \geq 2$ un entier naturel. Déterminer tous les polynômes $P \in R [X]$ :

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}, (a_{n} \neq = 0),$

tels qu'ils possèdent $n$ racines réelles plus petites ou égales à $- 1$ , et vérifient :

$a_{0}^{2} + a_{1} a_{n} = a_{n}^{2} + a_{0} a_{n - 1} .$