Inégalité avec nombres de Fermat

Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $2^{2^n}+1$, avec $n$ entier naturel. Le $n$-ième nombre de Fermat est noté $f_n$, c'est-à-dire, $f_n=2^{2^n}+1$.

Montrer que pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on a :

$$\frac{1}{f_1}+\frac{2}{f_2}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{f_n}<\frac{1}{3}$$