Inégalités entre moyennes et racine

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b$ des nombres réels avec $a \geq b > 0$ . Montrer que :

$\frac{( a - b ) ^{2}}{8 a} \leq \frac{a + b}{2} - ab \leq \frac{( a - b ) ^{2}}{8 b}$