Lipschitzienne et suite arithmétique

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction telle que $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ pour tout $x,y\in \mathbb{R}$. Montrer que si la suite $x,f(x),f(f(x)),\cdots$ est arithmétique, pour tout $x\in \mathbb{R}$, alors il existe $a\in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=x+a$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.