Inégalité avec produit de fractions

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Montrer que pour tout entier $n \geq 2$ on a :

$\frac{1}{2 n} < \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{1}{2 n + 1}$