Série de fractions convergente

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 1}$ la suite définie par $a_{1} = \frac{1}{2}$ , et pour $n \geq 2$ :

$a_{n} = \frac{2 n - 3}{2 n} \cdot a_{n - 1}$

Montrer que : $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} < 1$ pour tout $n \geq 1$ .