Suite récurrente avec transformation fractionnaire

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

La suite $(a_{n})_{n \geq 1}$ est définie par $a_{1} = 2$ et pour tout $n \geq 1$ :

$a_{n + 1} = \frac{2 + a _{n}}{1 - 2 a _{n}}$

Montrer que $a_{n} \neq = 0$ pour tout $n \geq 1$ .