Suite alternée et sommes partielles positives

Soit $(x_n{)}_{n\ge 1}$ la suite définie par $x_1=1$ et vérifiant pour tout $n\ge 1$ :

$$x_{2k}=-x_k,x_{2k-1}=(-1{)}^{k+1}{x}_k$$

Montrer que $x_1+x_2+\cdots +x_n\ge 0$ pour tout $n\ge 1$.

(Proposé à l'OIM, 2010)