Fonction définie par récurrence conditionnelle

Soit $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ la fonction définie par $f(1)=1$, et pour tout $n\ge 1$ :

$$f(n+1)=\{\begin{array}{ll}f(n)+2& \text{si }n=f(f(n)-n+1),\\ f(n)+1& \text{sinon.}\end{array}$$

1. Montrer que $f(f(n)-n+1)\in \{n,n+1\}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
2. Déterminer l'expression générale de $f$.