Fonction Lipschitzienne avec point fixe

Soit $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ une fonction vérifiant :

1. $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ pour tout réels $x,y$ ;
2. il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $f^{(k)}(0)=0$ où $f^{(1)}(x)=f(x)$, $f^{(n+1)}(x)=f(f^{(n)}(x))$, $n=1,2,\dots$

Montrer que $f(0)=0$ ou $f(f(0))=0$.