Somme de radicaux avec conjugués

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Pour tout entier $n \geq 1$ on pose :

$a_{n} = 3 n + n^{2} - 1 et b_{n} = 2 n^{2} - n + n^{2} + n$

Montrer que :

$a_{1} - b_{1} + a_{2} - b_{2} + \dots + a_{49} - b_{49} = A + B 2$

où $A$ et $B$ sont des entiers.