Valeur d'une suite avec récurrence irrationnelle

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 1}$ la suite définie par $a_{1} = 2022$ et pour tout $n \geq 1$ :

$a_{n + 1} = \frac{( 2 + 1 ) a _{n} - 1}{2 + 1 + a _{n}} .$

Déterminer la valeur de $a_{2023}$ .