Suite définie par itération et rationnels

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ la suite définie par $a_1=1$, et pour tout $n\ge 1$ :

$$a_{2n}=a_n+1,a_{2n+1}=\frac{1}{a_{2n}}$$

Montrer que pour tout $r\in \mathbb{Q}$, il existe un unique $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $a_n=r$.

(Ibéro-Amérique)