Énumération des rationnels positifs par suite

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $\nu (n)$ l'entier naturel $k$ vérifiant $2^k|n$ et $2^{k+1}\nmid n$. La suite $(x_n{)}_{n\ge 0}$ est définie par $x_0=0$, et vérifie pour tout $n\ge 1$ :

$$\frac{1}{x_n}=1+2\nu (n)-x_{n-1}$$

Montrer que chaque nombre rationnel positif apparaîtra exactement une fois dans la suite $x_0,x_1,\dots$