Polynômes bornés et coefficients

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $P$ un polynôme tel que $∣ P (x) ∣ \leq 1$ pour $∣ x ∣ \leq 1$ .

Si $P (x) = a x^{2} + b x + c$ , déterminer la valeur maximale de $∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣$ . (Proposé à l'OIM, 1986)
Si $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , déterminer la valeur maxime de $∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣ + ∣ d ∣$ . (Proposé à l'OIM, 1996)