Majoration d'une suite par l'inverse

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 0}$ la suite de nombres réels strictement positifs telle que pour tout $n \geq 1$ :

$a_{n}^{2} \leq a_{n} - a_{n + 1}$

Montrer que $a_{n} < \frac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$ .