Partition de ℕ* en progressions arithmétiques

On partitionne l'ensemble ${\mathbb{N}}^{\ast }$ en $n\ge 1$ progressions arithmétiques avec comme premiers termes $a_1,a_2,\dots ,a_n$ et de raisons $r_1,r_2,\dots ,r_n$ respectivement :

$${\mathbb{N}}^{\ast }=\{a_1,a_1+r_1,a_1+2r_1,\dots \}\cup \{a_2,a_2+r_2,a_2+2r_2,\dots \}\cup \cdots \cup \{a_n,a_n+r_n,a_n+2r_n,\dots \}$$

Montrer que :

$$\frac{a_1}{r_1}+\frac{a_2}{r_2}+\cdots +\frac{a_n}{r_n}=\frac{n+1}{2}$$