Propriété de divisibilité dans des ensembles d'entiers

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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1. Pour tout entier naturel $n \geq 2$ , montrer qu'il existe $n$ entiers strictement positifs $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , deux à deux distincts, tels que :

$a_{i} - a_{j} divise a_{i} + a_{j} pour tous 1 \leq i < j \leq n .$

2. Existe-t-il un ensemble infini ${a_{1}, a_{2}, \dots}$ d'entiers strictement positifs, deux à deux distincts, vérifiant :

$a_{i} - a_{j} divise a_{i} + a_{j} pour tout i \neq = j ?$

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