Suite géométrique caractérisée par une identité rationnelle

Soient $x_1,x_2,x_3,\dots$ des nombres réels strictement positifs et deux à deux distincts. Montrer que $(x_n{)}_{n\ge 1}$ est une suite géométrique si, et seulement si, pour tout $n\ge 2$ on a :

$$\frac{x_1}{x_2}\left(\frac{x_n^2}{x_1{x}_2}+\frac{x_n^2}{x_2{x}_3}+\frac{x_n^2}{x_3{x}_4}+\cdots +\frac{x_n^2}{x_{n-1}{x}_n}\right)=\frac{x_n^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}.$$