Somme de carrés consécutifs via binômes

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Montrer que pour tout entier $n \geq 1$ le nombre

$a_{n} = (0 2 n + 1)^{2} 2^{2 n} + (2 2 n + 1)^{2} 2^{2 n - 2} \cdot 3 + \dots + (2 n 2 n + 1)^{2} 3^{n}$

est la somme de deux carrés consécutifs (c.-à-d. $a_{n} = x^{2} + (x + 1)^{2}$ avec $x \in N^{*}$ ).