Caractérisation des suites géométriques

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 0}$ une suite de réels strictement positifs vérifiant :

$(0 n) a_{0} a_{n} + (1 n) a_{1} a_{n - 1} + (2 n) a_{2} a_{n - 2} + \dots + (n n) a_{n} a_{0} = a_{2 n}$

Montrer que $(a_{n})_{n \geq 0}$ est une suite géométrique. (Roumanie)