Valeur d'expression trigonométrique paramétrisée

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x$ , $y$ , $z$ des réels vérifiant :

$2 x (y^{2} - 1) + 2 y (x^{2} - 1) = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

$4 z (1 - y^{2}) + 4 y (1 - z^{2}) = (1 + z^{2}) (1 + y^{2})$

Déterminer la valeur de l'expression :

$(\frac{2 x}{1 + x ^{2}} - \frac{2 z}{1 + z ^{2}})^{2} + (\frac{1 - z ^{2}}{1 + z ^{2}} - \frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}})^{2}$