Puissances symétriques des racines

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a$ , $b$ et $c$ des réels vérifiant :

$a + b + c = 3$ , $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 5$ et $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 7$ .

Déterminer la valeur de $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ et de $a^{5} + b^{5} + c^{5}$ .