Somme de puissances cubiques et ratios

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soient $x$ , $y$ , $z$ des réels vérifiant :

$x^{3} + y^{3} = \frac{100}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ , $y^{3} + z^{3} = \frac{50}{y ^{2} + y z + z ^{2}}$ et $z^{3} + x^{3} = \frac{25}{z ^{2} + z x + x ^{2}}$

Déterminer la valeur de l'expression $\frac{30 z}{3 x - 2 y + z}$

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