Polynômes avec racines réelles et conditions fonctionnelles

Soient $f$ et $g$ deux polynômes à coefficients réels tels que chacun d'eux admet, au moins, une racine réelle.

1. Montrer qu'il existe $a\in \mathbb{R}$ tel que $f(a{)}^2=g(a{)}^2$.
2. Si $f(1+x+g(x{)}^2)=g(1+x+f(x{)}^2)$, montrer que $f=g$. (Moldavie)