Somme associée à une suite récurrente

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(x_{n})_{n \geq 1}$ la suite réelle définie par $x_{1} = \frac{1}{2}$ , et pour tout $n \geq 1$ :

$x_{n + 1} = \frac{x _{n} + x _{n}^{2}}{1 + x _{n} + x _{n}^{2}}$

Déterminer la valeur de la somme :

$\frac{1}{x _{1} + 1} + \frac{1}{x _{2} + 1} + \dots + \frac{1}{x _{2020} + 1} + \frac{1}{x _{2021}}$