Factorielle et somme de factorielles au carré

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Pour tout entier $n \geq 1$ , montrer que :

$(n + 1)! = 1 + \frac{1 ! ^{2}}{0 !} + \frac{2 ! ^{2}}{1 !} + \dots + \frac{n ! ^{2}}{( n - 1 )!}$