📉 Suites numériques Question sur 5 pts

Suite récurrente (Sciences Exp)

Où vont les points dans l'exercice de suites du Bac Sciences Exp : encadrement, monotonie, limite.

📋 L'énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1$ .

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $0 \leq u_{n} \leq 2$ .

2. Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$ .

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente, puis déterminer sa limite $ℓ$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Initialisation de la récurrence : vérifier $0 \leq u_{0} \leq 2$
+0,5

💡 Sans le premier maillon, la récurrence ne démarre pas : c'est un point « cadeau » trop souvent oublié.
2

Hypothèse de récurrence clairement énoncée : on suppose $0 \leq u_{n} \leq 2$
+0,25

💡 Le correcteur veut voir la phrase « supposons que… pour un $n$ fixé » avant tout calcul.
3

Hérédité : à partir de $0 \leq u_{n} \leq 2$ , encadrer $u_{n + 1}$ et conclure $0 \leq u_{n + 1} \leq 2$
+1

💡 Cœur de la question : appliquer $f$ croissante à l'encadrement puis conclure proprement.
4

Conclusion de la récurrence : la propriété est vraie pour tout $n \in N$
+0,25

💡 Une récurrence non conclue perd la dernière fraction de point, même si tout le reste est juste.
5

Calcul du signe de $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} (2 - u_{n}) \geq 0$
+1

💡 C'est le calcul qui décide de la monotonie ; l'encadrement précédent sert ici à donner le signe.
6

Conclusion : la suite $(u_{n})$ est croissante
+0,5

💡 Annoncer explicitement la nature « croissante » ferme la question 2.
7

Justifier la convergence : $(u_{n})$ croissante et majorée par $2$ $\Rightarrow$ convergente
+0,75

💡 Le théorème de la convergence monotone doit être cité pour gagner ces points.
8

Déterminer la limite : résoudre $ℓ = \frac{1}{2} ℓ + 1$ donc $ℓ = 2$
+0,75

💡 La limite vérifie $ℓ = f (ℓ)$ ; oublier de la calculer laisse la question à moitié faite.

Total de la question 5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué, plusieurs points se ramassent sans finir l'exercice :

Écris l'initialisation et la conclusion de la récurrence : ce sont des points quasi automatiques, indépendants de l'hérédité.
Pour la monotonie, calcule toujours $u_{n + 1} - u_{n}$ et factorise : ici $\frac{1}{2} (2 - u_{n})$ , dont le signe vient directement de l'encadrement.
Cite le théorème « toute suite croissante et majorée converge » même si tu doutes : la phrase exacte rapporte le point.
Pour la limite, pose l'équation $ℓ = f (ℓ)$ : tu peux la résoudre même si la question précédente n'est pas terminée.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Bâclée : « $(u_{n})$ croît et $ℓ = 2$ » sans récurrence ni théorème cité : la majorité des points saute.

Complète : initialisation $u_{0} = 0$ , hérédité $0 \leq \frac{1}{2} u_{n} \leq 1$ donc $1 \leq u_{n + 1} \leq 2$ , conclusion ; puis $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} (2 - u_{n}) \geq 0$ (croissante) ; enfin « croissante et majorée par $2$ donc convergente » et $ℓ = \frac{1}{2} ℓ + 1 \Rightarrow ℓ = 2$ . Chaque maillon visible = chaque point.