🧭 Nombres complexes Question sur 3,5 pts

Nombres complexes (Sciences Exp)

Bac Sciences Exp : où vont les points entre forme trigonométrique et lecture géométrique.

📋 L'énoncé

On considère le nombre complexe $z = 1 + i 3$ .

1) Écrire $z$ sous forme trigonométrique.

2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a = 2$ , $b = 1 + i 3$ et $c = - 1 + i 3$ . Montrer que le triangle $O B C$ est isocèle, puis déterminer la nature du triangle $O A B$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Calcul du module : $∣ z ∣ = 1^{2} + (3)^{2} = 4 = 2$
+0,5

💡 Le module est le premier point garanti : applique directement la formule $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ .
2

Détermination de l'argument : $cos θ = \frac{1}{2}$ et $sin θ = \frac{3}{2}$ donc $ar g (z) = \frac{π}{3}$
+0,5

💡 Le correcteur exige les DEUX lignes (cosinus ET sinus) pour fixer l'argument sans ambiguïté.
3

Conclusion forme trigonométrique : $z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$
+0,5

💡 Le point n'est acquis qu'avec l'écriture finale propre, module en facteur.
4

Calcul de $O B = ∣ b ∣ = 2$ et $O C = ∣ c ∣ = (- 1)^{2} + (3)^{2} = 2$
+0,5

💡 Pour le triangle, on traduit chaque côté en module d'affixe : c'est l'outil attendu.
5

Conclusion $O B = O C$ donc le triangle $O B C$ est isocèle en $O$
+0,5

💡 Sans la phrase de conclusion nommant le sommet, la moitié du point saute.
6

Calcul de $A B = ∣ b - a ∣ = ∣ - 1 + i 3 ∣ = 2$ et $O A = ∣ a ∣ = 2$ , $O B = ∣ b ∣ = 2$
+0,5

💡 On compare les trois longueurs du triangle $O A B$ via les modules de différences d'affixes.
7

Conclusion $O A = O B = A B = 2$ donc le triangle $O A B$ est équilatéral
+0,5

💡 Trois côtés égaux : il faut nommer explicitement « équilatéral » pour décrocher le point.

Total de la question 3,5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué, ces points sont faciles à prendre :

Écris toujours $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ avant de calculer : la formule posée vaut souvent un demi-point.
Pour une longueur géométrique, pense « module d'une différence d'affixes » : $A B = ∣ b - a ∣$ . C'est mécanique et payant.
Termine chaque question par une phrase de nature (« isocèle en $O$ », « équilatéral ») : le correcteur cherche ce mot-clé.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $z = 1 + i 3$ , module $2$ , donc $z = 2$ d'argument $\frac{π}{3}$ . » L'argument tombe du ciel sans $cos$ ni $sin$ , et la forme trigonométrique n'est jamais écrite : on perd 1 point sur 1,5.

Version complète : on pose $∣ z ∣ = 1 + 3 = 2$ , puis $cos θ = \frac{1}{2}$ et $sin θ = \frac{3}{2}$ donnent $θ = \frac{π}{3}$ , et on conclut $z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ . Chaque étape visible = chaque point pris.