Trigonométrie : formules essentielles

Cette fiche regroupe les formules essentielles de trigonométrie du lycée. Sur le cercle trigonométrique de rayon $1$, un angle de mesure $x$ (en radians) repère un point dont l'abscisse vaut $\cos x$ et l'ordonnée $\sin x$. On a donc toujours $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.

L'identité fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, les angles associés et les formules d'addition permettent de calculer de nombreuses valeurs sans calculatrice. Pense à convertir les degrés en radians : $180° = \pi$ rad.

Valeurs remarquables

$cos 0 = 1$	= $sin 0 = 0$	$0$ rad $= 0°$
$cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$	= $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$	$\frac{π}{6} = 30°$
$cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$	= $sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$	$\frac{π}{4} = 45°$
$cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$	= $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$	$\frac{π}{3} = 60°$
$cos \frac{π}{2} = 0$	= $sin \frac{π}{2} = 1$	$\frac{π}{2} = 90°$

Identité fondamentale

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$	valable pour tout réel $x$
$- 1 \leq cos x \leq 1$	= $- 1 \leq sin x \leq 1$	encadrement du cosinus et du sinus

Angles associés

$cos (- x) = cos x$	= $sin (- x) = - sin x$	$cos$ est paire, $sin$ est impaire
$cos (π - x) = - cos x$	= $sin (π - x) = sin x$	angles supplémentaires
$cos (π + x) = - cos x$	= $sin (π + x) = - sin x$	demi-tour
$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$	= $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$	angles complémentaires
$cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x$	= $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$	quart de tour

Formules d'addition

$cos (a + b)$	= $cos a cos b - sin a sin b$
$cos (a - b)$	= $cos a cos b + sin a sin b$
$sin (a + b)$	= $sin a cos b + cos a sin b$
$sin (a - b)$	= $sin a cos b - cos a sin b$

Formules de duplication

$cos (2 a)$	= $cos^{2} a - sin^{2} a$	cas $b = a$ dans $cos (a + b)$
$cos (2 a)$	= $2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$	avec $cos^{2} a + sin^{2} a = 1$
$sin (2 a)$	= $2 sin a cos a$	cas $b = a$ dans $sin (a + b)$

Périodicité

$cos (x + 2 π) = cos x$	= $sin (x + 2 π) = sin x$	$cos$ et $sin$ sont $2 π$ -périodiques
$cos (x + 2 k π) = cos x$	= $sin (x + 2 k π) = sin x$	pour tout entier $k$

Conversion degrés / radians

$180° = π rad$	relation de référence
$x_{rad} = \frac{π}{180} \times x_{deg}$	des degrés vers les radians
$x_{deg} = \frac{180}{π} \times x_{rad}$	des radians vers les degrés

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