Suites : formules arithmétiques & géométriques

Cette fiche regroupe les formules essentielles sur les suites au lycée. Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$. Elle est géométrique lorsqu'on multiplie par une raison constante $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$.

On retrouve ici le terme général en fonction de $n$, les sommes de termes, l'étude de la monotonie, le comportement de $q^n$ pour les limites, ainsi que la méthode pour les suites arithmético-géométriques du type $u_{n+1} = a\,u_n + b$.

Suites arithmétiques

$u_{n + 1} = u_{n} + r$	relation de récurrence, $r$ = raison
$u_{n} = u_{0} + n r$	terme général à partir de $u_{0}$
$u_{n} = u_{p} + (n - p) r$	terme général à partir de $u_{p}$
$r = \frac{u _{n} - u _{p}}{n - p}$	calcul de la raison

Sommes (suite arithmétique)

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$	somme des entiers de $1$ à $n$
$k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$	somme de $n + 1$ termes, depuis $u_{0}$
$S = (nb de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$	formule générale d'une somme arithmétique

Suites géométriques

$u_{n + 1} = q \times u_{n}$	relation de récurrence, $q$ = raison
$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$	terme général à partir de $u_{0}$
$u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$	terme général à partir de $u_{p}$

Sommes (suite géométrique)

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$	avec $q \neq = 1$
$k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$	somme de $n + 1$ termes, $q \neq = 1$
$S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{nb de termes}}{1 - q}$	formule générale d'une somme géométrique

Limites de $q^n$

$q > 1$	= $n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$	croissance non bornée
$q = 1$	= $n \to + \infty lim q^{n} = 1$	suite constante égale à $1$
$- 1 < q < 1$	= $n \to + \infty lim q^{n} = 0$	convergence vers $0$
$q \leq - 1$	= $q^{n} n’a pas de limite$	la suite oscille

Monotonie (sens de variation)

$Arithm \overset{e}{ˊ} tique : r > 0$	= $(u_{n}) croissante$	si $r < 0$ : décroissante ; $r = 0$ : constante
$G \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique : u_{0} > 0 et q > 1$	= $(u_{n}) croissante$	si $0 < q < 1$ : décroissante
$G \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique : q < 0$	= $(u_{n}) non monotone$	les termes changent de signe
$u_{n + 1} - u_{n}$	étudier le signe pour conclure (méthode générale)

Suites arithmético-géométriques (méthode)

$u_{n + 1} = a u_{n} + b$	forme générale, avec $a \neq = 1$
$ℓ = a ℓ + b \Rightarrow ℓ = \frac{b}{1 - a}$	point fixe : résoudre $ℓ = a ℓ + b$
$v_{n} = u_{n} - ℓ$	on pose la suite auxiliaire $v_{n}$
$v_{n + 1} = a \times v_{n}$	$(v_{n})$ est géométrique de raison $a$
$v_{n} = v_{0} \times a^{n} \Rightarrow u_{n} = v_{n} + ℓ$	on revient à $u_{n}$ pour conclure

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