Second degré & identités remarquables

Cette fiche regroupe l'essentiel sur le second degré et les identités remarquables. Une fonction du second degré s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ; sa courbe est une parabole.

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ commande tout : son signe donne le nombre de solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, et les racines valent $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Les identités remarquables, comme $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, servent à développer et factoriser rapidement, ce qui est indispensable pour résoudre, simplifier et étudier le signe d'un trinôme.

Identités remarquables

$(a + b)^{2}$	= $a^{2} + 2 ab + b^{2}$	carré d'une somme
$(a - b)^{2}$	= $a^{2} - 2 ab + b^{2}$	carré d'une différence
$(a + b) (a - b)$	= $a^{2} - b^{2}$	produit conjugué : différence de deux carrés
$(a + b)^{3}$	= $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	cube d'une somme (option)
$(a - b)^{3}$	= $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$	cube d'une différence (option)

Discriminant & racines

$a x^{2} + b x + c = 0$	= $a \neq = 0$	équation du second degré
$Δ = b^{2} - 4 a c$	discriminant
$Δ > 0$	= $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$	deux racines réelles distinctes
$Δ = 0$	= $x = \frac{- b}{2 a}$	une racine double
$Δ < 0$	= $aucune racine r \overset{e}{ˊ} elle$	pas de solution dans $R$

Formes du trinôme

$f (x) = a x^{2} + b x + c$	forme développée
$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	forme factorisée, si $Δ > 0$ (racines $x_{1}$ , $x_{2}$ )
$f (x) = a (x - α)^{2} + β$	forme canonique
$α = \frac{- b}{2 a}$	= $β = f (α)$	avec $β = - \frac{Δ}{4 a}$

Somme & produit des racines

$S = x_{1} + x_{2}$	= $- \frac{b}{a}$	somme des racines
$P = x_{1} \times x_{2}$	= $\frac{c}{a}$	produit des racines
$a x^{2} + b x + c$	= $a (x^{2} - S x + P)$	trinôme en fonction de $S$ et $P$

Sommet de la parabole

$S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$	coordonnées du sommet $(α; β)$
$a > 0$	= $parabole tourn \overset{e}{ˊ} e vers le haut$	le sommet est un minimum
$a < 0$	= $parabole tourn \overset{e}{ˊ} e vers le bas$	le sommet est un maximum

Signe du trinôme

$Δ > 0$	= $signe de a \overset{a}{ˋ} l’ext \overset{e}{ˊ} rieur des racines$	signe de $- a$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$
$Δ = 0$	= $signe de a partout$	sauf en $x = \frac{- b}{2 a}$ où $f$ s'annule
$Δ < 0$	= $signe de a sur R$	le trinôme ne s'annule jamais

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