Probabilités : formules clés

Cette fiche réunit les formules essentielles de probabilités au lycée. On part des règles de base sur les événements : la probabilité de la réunion $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, l'événement contraire $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et l'équiprobabilité où $P(A)$ vaut le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

On passe ensuite aux probabilités conditionnelles $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, à la formule des probabilités totales et à l'indépendance. Enfin, on traite les variables aléatoires — espérance $E(X)$, variance $V(X)$, écart-type — et la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ avec $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Probabilités : règles de base

$0 \leq P (A) \leq 1$	une probabilité est comprise entre $0$ et $1$
$P (Ω) = 1$	l'univers $Ω$ est l'événement certain
$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$	probabilité de l'événement contraire
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	probabilité de la réunion
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$	cas particulier : $A$ et $B$ incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ )

Équiprobabilité

$P (A) = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$	situation d'équiprobabilité
$P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$	écriture avec les cardinaux

Probabilités conditionnelles

$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$	probabilité de $A$ sachant $B$ , avec $P (B) \neq = 0$
$P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$	probabilité d'une intersection
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$	autre conditionnement de l'intersection

Formule des probabilités totales

$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overset{ˉ}{B})$	partition selon $B$ et $\overset{ˉ}{B}$
$P (A) = P (B) \times P_{B} (A) + P (\overset{ˉ}{B}) \times P_{\overset{ˉ}{B}} (A)$	formule des probabilités totales (utile avec un arbre)

Indépendance

$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$	$A$ et $B$ indépendants
$P_{B} (A) = P (A)$	caractérisation équivalente, avec $P (B) \neq = 0$

Variable aléatoire : espérance, variance

$E (X) = i \sum x_{i} p_{i}$	espérance (moyenne théorique) de $X$
$V (X) = i \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$	variance : moyenne des carrés des écarts
$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$	formule de König-Huygens (calcul rapide)
$σ (X) = V (X)$	écart-type : dispersion autour de $E (X)$

Transformation affine $aX + b$

$E (a X + b) = a E (X) + b$	linéarité de l'espérance
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$	le $+ b$ n'a aucun effet sur la variance
$σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$	écart-type de la transformée affine

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$n$ épreuves indépendantes, $k$ succès, $0 \leq k \leq n$
$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$	coefficient binomial : nombre de chemins à $k$ succès
$E (X) = n p$	espérance de la loi binomiale
$V (X) = n p (1 - p)$	variance de la loi binomiale
$σ (X) = n p (1 - p)$	écart-type de la loi binomiale

📐 Tu veux t'entraîner sur ces formules ?

Découvre nos exercices corrigés sur probabilités : formules clés.

Voir les cours →