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Maths expertes
Nombres complexes : formules
L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ prolonge celui des réels en introduisant un nombre imaginaire $i$ vérifiant $i^2 = -1$. Tout complexe s'écrit sous forme algébrique $z = a + ib$, où $a = \mathrm{Re}(z)$ est la partie réelle et $b = \mathrm{Im}(z)$ la partie imaginaire.
On lui associe son module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ et, lorsque $z \neq 0$, un argument $\theta = \arg(z)$. Cela conduit aux formes trigonométrique $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et exponentielle $z = r\,e^{i\theta}$, particulièrement efficaces pour les produits, quotients et puissances. Les formules de Moivre et d'Euler relient ces écritures à la trigonométrie.
Forme algébrique
| = | définition de l'unité imaginaire | |
| = | réels | |
| partie réelle | ||
| partie imaginaire (un réel) | ||
| = | égalité de deux complexes | |
| = | ||
| = |
Conjugué
| = | conjugué de | |
| = | ||
| = | ||
| = | réel positif | |
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | entier |
Inverse et quotient
| = | ||
| = | écriture algébrique | |
| = | multiplier par le conjugué |
Module
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | module d'un produit | |
| = | ||
| = | entier | |
| = | inégalité triangulaire |
Argument
| = | défini modulo , pour | |
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | entier | |
| = |
Formes trigonométrique et exponentielle
| = | forme trigonométrique, | |
| = | forme exponentielle | |
| = | module | |
| = | ||
| = | , , | |
| identité d'Euler |
Opérations en forme exponentielle
| = | produit | |
| = | quotient, | |
| = | inverse | |
| = | conjugué | |
| = | puissance, entier |
Formule de Moivre
| = | entier relatif | |
| = | écriture exponentielle de Moivre |
Formules d'Euler
| = | ||
| = | ||
| = | ||
| = | utile pour linéariser |
Racines n-ièmes de l'unité
| = | ||
| = | racines carrées de l'unité | |
| = | avec | |
| = | somme des racines cubiques de l'unité | |
| = | , |
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