Géométrie dans l'espace : formules

Cette fiche regroupe les formules de géométrie dans l'espace et du produit scalaire au programme de Terminale. Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, un vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ a pour norme $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$ est l'outil central : il caractérise l'orthogonalité ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$), fournit l'angle entre deux vecteurs et permet d'établir l'équation cartésienne d'un plan $ax + by + cz + d = 0$ à partir d'un vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$. On en déduit les distances et la représentation paramétrique d'une droite.

Vecteurs dans l'espace

$A B$	= $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$	coordonnées d'un vecteur
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$	norme du vecteur $u (x; y; z)$
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$	distance entre deux points
$u = k v$	= $u et v colin \overset{e}{ˊ} aires$	$k$ réel, avec $v \neq = 0$

Milieu et coordonnées

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

milieu

I

du segment

[A B]

Produit scalaire

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$	expression analytique en repère orthonormé
$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$	$θ$ angle entre $u$ et $v$
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$	carré scalaire
$u \cdot v = 0$	= $u ⊥ v$	critère d'orthogonalité (vecteurs non nuls)
$cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$	angle entre deux vecteurs

Équation cartésienne d'un plan

$a x + b y + cz + d = 0$	équation cartésienne d'un plan
$n (a; b; c)$	vecteur normal au plan
$n \cdot A M = 0$	$M$ appartient au plan passant par $A$ de normale $n$
$a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$	plan de normale $n$ passant par $A$

Représentation paramétrique d'une droite

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t α y = y_{A} + t β z = z_{A} + t γ

droite passant par

A

, de vecteur directeur

u (α; β; γ)

t \in R

Distance d'un point à un plan

d (M; P) = \frac{∣ a x _{M} + b y _{M} + c z _{M} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

plan

P : a x + b y + cz + d = 0

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