Nature de nombres construits avec des radicaux Montrer que 1 + 2 1 × 1 − 3 1 ∈ Q . Montrer que 3 − 2 3 − 3 + 2 2 ∈ N . Montrer que ( 3 5 − 2 3 ) 2 + ( 3 1 + 3 ) 2 ∈ N .

Montrer qu'un nombre est rationnel ou entier

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Nature de nombres construits avec des radicaux

Montrer que $1 + \frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{3} \in Q$ .
Montrer que $\frac{3}{3 - 2} - \frac{2}{3 + 2} \in N$ .
Montrer que $(\frac{5 - 2 3}{3})^{2} + (\frac{1 + 3}{3})^{2} \in N$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, commence par mettre chaque expression sous le radical sous forme d'une seule fraction avant de faire le produit des racines.

2 Indice 2

Pour la question 2, mets les deux fractions au meme denominateur en utilisant l'identite remarquable $(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})(\\sqrt{a}+\\sqrt{b}) = a-b$.

3 Indice 3

Pour la question 3, developpe chaque carre separement (attention a $(1+\\sqrt{3})^2$) puis regroupe les termes sur un denominateur commun pour simplifier.

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