Circulation à sens unique : comptage de trajets

Un parc d'attractions comporte quatre zones notées $A$, $B$, $C$ et $D$, reliées par des allées à sens unique. Les déplacements autorisés (de la première zone vers la seconde) sont : $A\to B$, $A\to C$, $B\to C$, $B\to D$, $C\to D$ et $D\to A$.

On range les sommets dans l'ordre $A,B,C,D$.

1. Représenter la situation par sa matrice d'adjacence $M$ (graphe orienté).

2. Calculer $M^2$, puis $M^3$.

3. Combien existe-t-il de trajets de longueur $3$ (utilisant exactement $3$ allées) menant de la zone $A$ à la zone $D$ ? Le(s) décrire.

4. Un visiteur part de $A$. Combien de trajets de longueur exactement $3$ peut-il emprunter au total, toutes destinations confondues ?