Formule d'Euler : s − a + f = 2 pour tout graphe planaire connexe. Vérifier pour K 4 ( s = 4 , a = 6 ). Montrer a ≤ 3 s − 6 pour s ≥ 3 , puis conclure que K 5 n'est pas planaire.

Graphes planaires et formule d'Euler

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Formule d'Euler : $s - a + f = 2$ pour tout graphe planaire connexe.

Vérifier pour $K_{4}$ ( $s = 4$ , $a = 6$ ).
Montrer $a \leq 3 s - 6$ pour $s \geq 3$ , puis conclure que $K_{5}$ n'est pas planaire.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, remplace simplement $s$ et $a$ par les valeurs donnees dans la formule d'Euler pour en deduire $f$.

2 Indice 2

Pour la question 2, pars de l'inegalite reliant le nombre de faces et le nombre d'aretes (chaque face possede au moins trois aretes, et chaque arete borde deux faces), puis remplace $f$ par son expression en fonction de $s$ et $a$ issue de la formule d'Euler.

3 Indice 3

Applique ensuite l'inegalite obtenue au cas particulier de $K_5$ en comparant le nombre reel d'aretes de ce graphe a la borne maximale autorisee pour un graphe planaire ayant le meme nombre de sommets.

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